已知△ABC，以AB、AC为腰向外做等腰△ABE和等腰△ACF

更新时间2021-04-08 09:00:40

已知△ABC，以AB、AC为腰向外做等腰△ABE和等腰△ACF，AB=BE，AC=CF，∠ABE=∠ACF，G、M、N分别是BC、AE、AF的中点，求证：GM=GN

分别作 AB 、AC 两边的中点为 M'、N'

连MM'，NN'，GM'，GN'

已知 ∠ABE=∠ACF， 可用 ∠1 表示

已知，M是AE的中点，M'是AB的中点

所以，MM’为△ABE的中位线，即 MM'//BE，且MM'=1/2BE

又知，AB=BE，所以，MM'=1/2AB

已知，G是BC的中点，N'是AC的中点

所以，GN'为△ABC的中位线，即 GN'//AB，且GN'=1/2AB

所以，MM'=GN'

同理，可得，NN'=1/2CF=1/2AC，GM'//AC，GM'=1/2AC，所以，NN'=GM'

因MM'//BE，所以，∠MM'A=∠ABE（同位角），可用 ∠1 表示

因GM'//AC，所以，∠BGM'=∠BCA（同位角），可用 ∠3表示

同理，∠CGN'=∠CBA（同位角），可用 ∠4表示

则有，对于三角形BGM'的外角∠AM'G，有 ∠AM'G=∠3+∠4

即 ∠MM'G=∠1+∠3+∠4

同理，可证 ∠NN'G=∠1+∠3+∠4

所以，∠MM'G=∠NN'G

对于△MM'G 和 △NN'G，

已求得， MM'=GN'，NN'=GM'，∠MM'G=∠NN'G

所以△MM'G 全等于 △NN'G（边角边）

所以， GM=GN

证毕。