更新时间2019-09-01 04:56:06
求线段AB中点的轨迹方程.
设其中一条直线斜率为k，那么另一条直线斜率就是-1/k。
因为都过P（4,3）
其中一条直线方程：y=kx+3-4k……①，
那么另一条直线方程：y=-x/k+3+4/k……②，
直线①和椭圆交点（取其中一个就行）可求，这点为A。
直线②和椭圆交点（取其中一个就行）可求，这点为B。
A、B中点坐标可求。
只是计算太过复杂。
最后得出结论，线段AB中点的轨迹方程.（是一个椭圆）
据题设→x=acosα=13cosα,y=bsinα=12sinα,设A、B点坐标分别为（x,y),(x′,y′)→AB中点坐标为：【（x-x′)/2,(y-y′)/2]→(x-x′)²=a²[cosα-cos(α+π/2)]²=a²[1+2cosαsinα],
(y-y′)²=b²(1-2cosαsinα]→(x-x′)²/a²+(y-y′)²/b²=2→AB中的轨迹为：
[（x-x′)/2]²/(a/√2)²+[(y-y′)/2]²/(b/√2)²=1,即AB中点的轨迹为长、短半轴分别为13/√2及12/√2的椭圆。
过P(4,3)的直线l₁：y-3=k(x-4)，
与椭圆c：x²/169+y²/144=1交于A。
y=k(x-4)+3，
x²/169+[k(x-4)+3]²/144=1。
解出x₁=f₁(k)，x₂=f₂(k)。
代入方程l₁，
得对应y₁=g₁(k)，y₂=g₂(k)。
∴A₁(f₁(k),g₁(k))，A₂(f₂(k),g₂(x))。
l₂过P，l₂⊥l₁，
l₂：y-3=(-1/k)(x-4)，
与椭圆c交于B，则
B₁(f₁(-1/k),g₁(-1/k))，B₂(f₂(-1/k),g₂(-1/k))。
C是AB的中点，用中点公式
x=(x₁+x₂)/2，y=(y₁+y2)/2
得k为参数的方程。
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