正方体体对角线与与它相交的底边夹角的正弦值是多少为什么

更新时间2019-07-29 01:48:23

体对角线在顶点与2条底边相交，夹角相同，所以只需观察其中一条底边。

体对角线中点O、一条底边两端顶点A、B，在斜平面上构成等腰三角形；体对角线OA与底边夹角为角A，对边为OB；

C 为底边中点，AC为 a/2，则三角形高OC = √[ (√3a/2)^2 - (a/2)^2 ] = a/√2；

故体对角线OA与底边AB夹角的正弦值为 OC/OA = (a/√2)/(√3a/2) = √2/√3 。

设正方体棱长为a，则体对角线长度为√(a²+a²+a²)=√(3a²)=√3a

底边夹角的正弦值是a/(√3a)=√3/3=0.57735......

可知正方形对角线与底边夹角为45度，所以sin45°=√2/2(二分之根号二)