已知abc均为正数,切a²+b²+c²=1,求a(a+b+c)的最大值

更新时间2019-07-29 01:48:17

2018年清华自主招生试题，，跪求！！！

y = a( a + b + c ) = a^2 + ab + ac = 1 + ( ab - b^2 ) + ( ac - c^2 ) = 1 + z1 + z2；

z1 = ab - b^2 = -[ b^2 - ab + (a/2)^2 ] + a^2/4 = -( b - a/2 ) + a^2/4；

即 b = a/2 时，z1 有最大值 a^2/4；

同样，c = a/2 时，z2 有最大值 a^2/4；

y 最大时，a^2 + b^2 + c^2 = a^2 + a^2/4 + a^2/4 = 1，a^2 = 2/3；

ymax = 1 + z1 + z2 = 1 + a^2/2 = 1 + (2/3)/2 = 4/3；

a(a+b+c)的最大值是  4/3 。

据题设→S=a【a+b+c]=a²+ab+ac=[1-(b²+c²)]+ab+ac=1+[b(a-b)+c(a-c)]→当a＞b,a＞c→S可取大于1的值，比如a=2b=2c时S=1+1/3。