讨论y=4(x+1)/x^2-2的单调性,凹凸性,极值,拐点,渐近线

更新时间2019-07-15 05:49:35

求解答

y = 4(x+1)/x^2 - 2；

断点，x = 0；x → 0，y → ∞；

lim x → ±∞，4( 1 + 1/x )/x - 2 → -2；

y' = 4 [ x^2 - 2x( x + 1 ) ]/x^4 = 0，x = -2；

y'' = [ 1/x^2 - 2( x + 1 )/x^3 ]' = -2/x^3 - [ 2x^3 - 2( x + 1 ) * 3x^2 ]/x^6

= 2{ [ 2x + 3 ]/x^4 - 1/x^3 } = 0，( 2x + 3 )/x = 1，x = -3；∴  x = -3 是拐点；

 

y''(-2) = 2{ [ -4 + 3 ]/(-2)^4 - 1/(-2)^3 } = 2{ -1/16 + 1/8 } > 0，

∴ x = -2 是极小点，曲线上凹；

y''(1) = 2{ [ 2 + 3 ]/1^4 - 1/1^3 } = 2{ 5 - 1} > 0，∴ x > 0，曲线上凹；

y(-2) = 4( -2 + 1 )/(-2)^2 - 2 = -3 < -2；

故，x = -2 是极小点，极小值为 -3；

区间 ( -∞，-2 ) ∪ ( 0，∞ )，函数单调减；区间 ( -2，0 )，函数单调增；

有一个拐点，x = -3；

区间 ( -∞，-3 ) 函数上凸；区间 ( -3，0 ) ∪ ( 0，∞ )，函数上凹；

水平渐近线是 y = -2；垂直渐近线是 x = 0 。