更新时间2019-06-08 11:01:50
设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且Sn=2-2an+1(n∈N+)(Ⅰ)证明数列{an}为等比数列,并求数列{an}的通项公式(Ⅱ)求Tn=a1+2a2+L+nan(n∈N+)(Ⅲ)是否存在实数λ,使得数列{Sn+λ·n+λ/2^n}为等差数列?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由
(Ⅰ)a1=1
Sn=2-2a₍n+1₎ ①
S₍n+1₎=2-2a₍n₎ ②
①-②a₍n₎=2a₍n₎-2a₍n+1₎→a₍n₎=2a₍n+1₎→a₍n+1₎/a₍n₎=½
∴a₍n₎是首项为1,公比是½的等比数列→a₍n₎=½ⁿ⁻¹
(Ⅱ)Tn=a₁+2a₂+L+na₍n₎=1+1+L+n·½ⁿ⁻¹=2+L+n·½ⁿ⁻¹
(Ⅲ)Bn=Sn+λ·n+λ/2ⁿ=2-2/2ⁿ+λ·n+λ/2ⁿ=2+λ·n+(λ-2)/2ⁿ
λ=2时,Bn=2+2n为等差数列
∵S(n)=2-2a(n+1),∴S(n-1)=2-2a(n)。
∴a(n)=S(n)-S(n-1)=2a(n)-2a(n+1)。
∴2a(n+1)=a(n),a(n+1)/a(n)=1/2。
∴{a(n)}是等差数列,q=1/2。
∵a(1)=1,∴a(n)=2/2ⁿ★
∴S(n)=(1-1/2ⁿ)/(1-1/2)=2-2/2ⁿ。
∴S(n)+λn+λ/2ⁿ=2+λn+(λ-2)/2ⁿ。
当λ-2=0即λ=2时,S(n)=2+2n。
∴当λ=2时,{S(n)+λn+λ/2ⁿ}是等差数列★
【若】T(n)=1+2/2+3/2²+4/2³+……+n/2^(n-1),
则(1/2)T(n)
=1/2+2/2²+3/2³+……+(n-1)/2^(n-1)+n/2ⁿ。
∴(1/2)T(n)=T(n)-(1/2)T(n)
=1+1/2+1/2²+1/2³+……+1/2……+1/2^(n-1)-n/2ⁿ
=2-1/2^(n-1)-n/2ⁿ
=2-(n+2)/2ⁿ
∴T(n)=4-2(n+2)/2ⁿ★
存在的,整个式子列项求和,望采纳
上一篇:电涡流和阻抗的关系