椭圆上一点到左焦点距离是它到右准线距离的3倍，椭圆离心率的最小值是多少？

更新时间2018-12-13 10:18:03

以圆心为原点，椭圆上一点为 ( x，y )，则左焦距为 a + ex，点到右准线距离为 a/e - x；

故 a + ex = 3( a/e - x )，ae + e^2x = 3a - 3ex，e^2x + 3ex = a( 3 - e )，

x = a( 3 - e )/( e^2 + 3e ) ≤ a，3 - e ≤ e^2 + 3e，e^2 + 4e + 4 ≥ 7，( e + 2 )^2 ≥ 7； 

∴ e ≥ √7 - 2；椭圆离心率的最小值是 √7 - 2  。

解：设P到左准线的距离等于d，p到左右焦点的距离分别为r1,r2.离心率为e=c/a,长轴长为2a，焦距2c,则
r1+r2=2a,d=3r2,r1/d=e
即d=r1/e=3r2,r1=3er2=2a-r2

r2=2a/(3e+1),又a-c≤r2≤a+c

即