一道函数题

更新时间2018-08-05 19:13:05

用定义法证明f(x)=1/x+1在（-1，+∞）上是减函数

解：

方法一：

∵{x|-1<x<+∞}

∴{x+1|0<x+1<+∞+1}

f(x)=1/(x+1)中，x+1越大，f(x)值越接近0+

∴f(x)=1/x+1在（-1，+∞）上是减函数

方法二：

∵x>-1

∴x+1>0

∵△x>0

∴f(x+△x)-f(x)

=1/(x+△x+1)-1/(x+1)

=(x+1)/[(x+△x+1)(x+1)]-(x+△x+1)/[(x+△x+1)(x+1)]

=[(x+1)-(x+△x+1)]/[(x+△x+1)(x+1)]

=(x+1-x-△x-1)/[(x+1+△x)(x+1)]

＝-△x/[((x+1)+△x)(x+1)]

<0

∴f(x)=1/x+1在（-1，+∞）上是减函数

f(x)=1/x+1在点x=0时不连续。

函数的增减性在连续区间讨论。

如果

f(x)=1/(x+1)，在区间(-1，+∝)连续。

设-1＜a＜b。

f(a)-f(b)=1/(a+1)-1/(b+1)

=[(b+1)-(a+1)]/[(a+1)(b+1)]

=(b-a)/[(a+1)(b+1)]＞0

所以函数在定义域内是减函数。