设a,b,c是不为1的整数,(a,b,c)=1,且1/a+1/b=1/c,求证:a+b,a-c,b-c都是完全平方数。

更新时间2022-07-20 18:18:46

∵ (a，b，c)=1

∴ a，b，c是正整数。

∵ 1/a+1/b=1/c，

∴ a>c，b>c。

∵ c≠1，

∴ (a-c，b-c，c)=1。

∴ bc+ac=ab

① c²=c²-bc-ac+ab

=c(c-b)-a(c-b)

=(a-c)(b-c)

∴ a-c和b-c是平方数。

② a²=a²+ab-(bc+ac)

=a(a+b)-c(a+b)

=(a-c)(a+b)

∴ a+b是平方数。