设平面图形D由曲线y=x2与直线x=1和x轴围成，求平面图形D的面积

更新时间2022-05-13 18:09:22

设平面图形 D 由曲线 y = x2 与直线 x = 1和 x 轴围成，求
 （1） 平面图形 D 的面积；
 
 （2）由平面图形 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积。

曲线 与 x 轴交点为 ( 0，0 )；与直线 x =1 交点为 ( 1，1 )；

1、面积 S = ∫( 0，1 ) x^2 dx = [ x^3/3 ]( 0，1 ) = 1/3；

2、下图。两条蓝线所围的横截面，绕 x 轴旋转一周，是一个圆环；

圆环宽度为 1 - x，半径为 y，厚度为 dy；

圆环体积 dv = 宽度 * 周长 * 厚度 =( 1 - x ) * 2πy * dy = 2π( y - y√y )dy

旋转体可看作由圆环套叠而成，y 的取值区间为 ( 0，1 )；

旋转体体积 V = 2π∫( 0，1 ) [ y - y^(3/2) ] dy

= 2π[ y^2/2 - (2/5)y^(5/2) ]( 0，1 )

= 2π[ 1/2 - 2/5 ]

= π/5 。

确定积分区间，直接套公式。

【1】

在x的方向进行积分，积分区间(0，1)。

S(x)=∫ydx=∫x²dx=x³/3+c

面积=S(1)-S(0)=1/3

【2】旋转体

在x的方向进行积分，积分区间(0，1)。

V(x)=∫πy²dx=π∫x^4dx=(π/5)x^5+c

体积=V(1)-V(0)=π/5