已知直角三角形ABC，∠ABC=90°，

更新时间2022-05-09 17:17:58

三种思路，谢谢
BE为ABC外角的平分线，过A做AE⊥BE于E，过E做ED⊥CB延长线于D，猜想线段DE与线段AC的数量关系，并证明你的猜想

原题有一个小小的笔误，即“∠ABC=90°”，按图上的位置，这一句应记为“∠ACB=90°”

接下来，说一下结论，猜想 线段DE与线段AC 的关系 是：DE=1/2 AC

证法一：

连点E 与 AB的中点F， 则EF是三角形AEB的中线， 

因AE⊥BE， 所以，三角形AEB 是 直角三角形，所以，EF=BF

所以，角FEB=角FBE

因 BE为ABC外角的平分线， 所以 ，角FBE=角EBD， 所以，角FEB=角EBD

所以，EF//CD（内错角相等）

因 ED⊥CB延长线于D，所以，角DEF=直角

过中点F作BC的垂线FG, 则四边形DEFG是矩形，所以，DE=FG

又因，∠ACB=90°， 所以， FG//AC

因F是AB的中点，所以，FG是三角形ABC的中位线，所以，FG=1/2AC

所以，DE=1/2AC

证法二：

延长 AE、CD，交于点F

因，BE为AB角C外的平分线，AE⊥BE

所以，三角形BAE 全等于 三角形 BFE（角边角）

所以， 点E 是AF的中点

因，∠ACB=90°， ED⊥CB，所以，ED//AC

所以，在 三角形 AFC中，ED是中位线，

所以，DE=1/2AC

证法三：

过E作EF，平行于DC， 交AB于点P，交AC于点F

又知，角EDC，角FCD均为直角，所以，四边形DEFC是矩形 

所，角DEF=角CFE=直角， DE=FC，

过点 E 作EG⊥AB， 

因 ED⊥CB，BE为AB角C外的平分线，所以，三角形 BDE 全等于三角形BGE

所以，DE=GE

因EF//DC，所以，角DBE=角FEB（内错角）

又因，BE为AB角C外的平分线，

所以，角FEB=角ABE，记为角2

因，AE⊥BE, 所以，角1+角2=90

又因，角AEB=角FEB+角AEF=90

所以，角1=角AEF

对于三角形 AFE 和 三角形AGE

已知，EG⊥AB，EF⊥AC，角1=角AEF， AE为共用边，

所以。这两个三角形全等，

所以，GE=AF

所以，DE=GE=AF=FC

所以，DE=1/2AC