如何用求原函数的方法求∫√(r²-x²)dx=πr²/2,积分范围[-r,r]

更新时间2022-01-18 23:54:24

∫【-r，r】√(r²-x²)dx

=2∫【0，r】√(r²-x²)dx【x=rsinθ】

=2∫【0，π/2】√(r²-r²sin²θ)drsinθ

=2r²∫【0，π/2】cos²θdθ

=r²∫【0，π/2】[1+cos(2θ)]dθ

=r²[θ+(1/2)sin(2θ)]【上限π/2，下限0】

=r²(π/2-0)+r²(0-0)

=(π/2)r²

x=rsina

再做就简单了