在三角形ABC中，若A＝120，a＝1，则2b＋3c的最大值

更新时间2021-06-13 10:38:57

a/sinA = 1/sin(120°) = 2/√3；

sinC = sin( 60° - B ) = sin60°cosB - cos60°sinB = (√3/2)cosB - (sinB)/2

正弦定理，b = (2/√3)sinB，c = (2/√3)[ (√3/2)cosB - (sinB)/2 ] = cosB - (sinB)/√3；

y = 2b + 3c = (4/√3)sinB + 3cosB - (3/√3)sinB = (sinB)/√3 + 3cosB；

y' = (cosB)/√3 - 3sinB = 0，驻点 cosB = 3√3sinB；

y'' = (-sinB)/√3 - 3sinB < 0，驻点是极大点；

故当 cosB = 3√3sinB 时，2b + 3c = (sinB)/√3 + 3cosB 有最大值；

(cosB)^2 = 27(sinB)^2，1 - (cosB)^2 = 1 - 27(sinB)^2 = (sinB)^2，

sinB = 1/(2√7)，cosB = 3√3/(2√7)

 2b + 3c 最大值为 (sinB)/√3 + 3cosB = 1/(2√21) + 9√3/(2√7) = (2√21)/3 。