这道多元函数题是怎么做的？

更新时间2021-03-08 18:59:33

∫( -1，1 ) [p(x)]^2 dx

= ∫( -1，1 ) [ x^4 + 2ax^3 + 2bx^2 + a^2x^2 + 2abx + b^2 ] dx

= [ x^5/5 + ax^4/2 + ( 2b + a^2 )x^3/3 + abx^2 + xb^2 ]( -1，1 )

= 2/5 + 4b/3 + 2a^2/3 + 2b^2

= 2[ b^2 + 2b/3 + (1/3)^2 ] + 2/5 - 2/9 + 2a^2/3

= 2( b + 1/3 )^2 + 2a^2/3 + 8/45

当 a = 0，b = -1/3 时，∫( -1，1 ) [p(x)]^2 dx 有最小值 8/45；

即所求多项式为 p(x) = x^2 - 1/3 。

p(x)=x²+ax+b，

p²(x)=x^4+2ax³+(a²+2b)x²+2abx+b²。

f(a，b)=∫【-1，1】p²(x)dx

=2∫【0，1】[x^4+(a²+2b)x²+b²]dx

=2[1/5+(a²+2b)/3+b²]

=2/5+2a²/3+4b/3+2b²

∂f/∂a=4a/3，∂f/∂b=4/3+4b。

若∂f/∂a=∂f/∂b=0，则a=0，b=-1/3。