u=ax²+by²+cz²(a>0,b>0,c>0)求在条件x+y+z=1下的极小值

更新时间2019-10-23 10:17:23

u = ax^2 + by^2 + cz^2 = ax^2 + by^2 + c( 1 - x - y )^2

= ax^2 + by^2 + c( 1 - 2x - 2y + x^2 + y^2 + 2xy )

= ( a + c )x^2 + ( b + c )y^2 + 2cxy - 2cx - 2cy + c；

∂u/∂x = 2( a + c )x + 2cy - 2c = 0，ax + cx + cy - c = 0；①

∂u/∂y = 2( b + c )y + 2cx - 2c = 0，by + cy + cx - c = 0；②

① - ②，ax - by = 0，y = (a/b)x   ③

∂²u/∂x² = 2( a + c ) = A > 0，∂²u/∂y² = 2( b + c ) = C > 0；

∂²u/∂xy = 2c = B；

B^2 - AC = 4c^2 - 4ab - 4ac - 4bc - 4c^2 < 0；

故，y = (a/b)x 时，u 有极小值；

u(min) = ( a + c )x^2 + ( b + c )(ax/b)^2 + 2cx^2(a/b) - 2cx - 2c(a/b)x + c

= ( a + c + c(a/b)^2 + a^2/b + 2ac/b )x^2 - ( 2ac/b + 2c )x + c

将 a、b、c 的值代入，即可求得 u 的极小值。

例如，当 a = b = c 时，

u(min) = 6ax^2 - 4ax + a = 6a[ x^2 - (2/3)x + (1/3)^2 ] + a/3

= 6a( x - 1/3 )^2 + a/3；

即 x = y = z = 1/3 时，u 有极小值 a/3 。

设f(x,y,z,w)=ax²+by²+cz²+w(x+y+z-1)

用偏导数求出函数f的极值点。

∂f/∂x=2ax+w=0

∂f/∂y=2by+w=0

∂f/∂z=2cz+w=0

∂f/∂w=x+y+z-1=0

解出方程组的解，得f的极值点。

代入u中得极值。