大一数学多项式

更新时间2019-10-19 11:23:20

多项式f(x)和g(x)的一个非最大公因式ψ(x)是否可以写成“ψ(x)＝u(x)f(x)＋v(x)g(x)”的形式？

当然可以！证明是很简单的

证明：因为由已知的定理，d(x)是f(x)和g(x)的最大公因式的充要条件就是存在多项式u(x)和v(x)使得 d(x)＝U(x)f(x)＋V(x)g(x) 成立

而 ψ(x)是多项式f(x)和g(x)的一个非最大公因式，则它一定能被 d(x) 整除，即必有多项式φ（x）,使得ψ(x)=d(x)φ（x）成立，所以

ψ(x)=d(x)φ（x）=[U(x)f(x)＋V(x)g(x) ]φ（x）=U(x)φ（x）f(x)＋V(x)φ（x）g(x) 成立

即有多项式 u(x)=U(x)φ（x）, v(x)=V(x)φ（x）存在，使得 ψ(x)＝u(x)f(x)＋v(x)g(x) 成立

若f（x）和g（x）都不为零，则由定理可知，命题成立．若f（x）和g（x）中有一个为零，比如f（x）=0，则（f（x），g（x））=f（x），此时，d（x）=f（x）=1•f（x）+v（x）•g（x），其中v（x）可以是任意的多项式故判断为错．