设a,b,c大于0，求证：c/a+a/(b+c)+b/c大于等于2.

更新时间2019-09-28 20:31:35

当A>0，B>0，C>0时

∵A³+B³+C³-3ABC

=(A+B+C)(A²+B²+C²-AB-BC-CA)

=2(A+B+C)[(A-B)²+(B-C)²+(C-A)²]

≥0

∴A³+B³+C³≥3ABC。

∴A+B+C≥3(ABC)^(1/3)。

c/a+a/(b+c)+b/c

=c/a+a/(b+c)+(b+c)/c-1

≥3{(c/a)*[a/(b+c)]*[(b+c)/c]}^(1/3)-1

=3-1

=2

左边 ＝(a+b+c)/(a+b)+(a+b+c)/(b+c)+(a+b+c)/(c+a)-3 ＝0.5×(a+b+b+c+c+a)*[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]-3 ≥0.5×{3×[(a+b)(b+c)(c+a)]^1/3}×{3×[1/(a+b)×1/(b+c)×1/(c+a)]^1/3}-3 ＝0.5×3×3-3 ＝3/2 所以c/(a+b)+a/(b+c)+b/(c+a)≥3/2

yes,it is.dgsgfg