证明函数是减函数

更新时间2019-08-30 11:18:50

这个题目有问题，函数f(x)在[0,+∞)上并不是单调的，大致函数图像如下：

但f(x)在[1,+∞)上是减函数，证明方法如下：

（书写可能不是比较规范）

您好：

按照一般的增减性的证明方法就行。

做一下，因式分解就是。

 

解：设x1、x2∈[0，﹢∞)，且x1＜x2

∴f(x1)-f(x2)

=x1/(1+x1²)-x2/(1+x2²)

=[x1(1+x2²)-x2(1+x1²)]/[(1+x1²)(1+x2²)]

=[(x1-x2)-x1x2(x1-x2)]/[(1+x1²)(1+x2²)]

=[(x1-x2)(1-x1x2)]/[(1+x1²)(1+x2²)]

x1-x2＜0，(1+x1²)(1+x2²)＞0，但(1-x1x2)的正负不确定

所以，此命题是假命题

f(0.2)=5/26

f(0.5)=2/5＞f(0.2)

递增啊

f(x)在[1，﹢∞)上递减，在[0,1]上递增

设0＜x1＜x2

f（x1）-f（x2）=x1/(1+x1²）-x2/（1+x2²）=x1x2（x2-x1）/（1+x1²）（1+x2²）＜0

即f（x1）＜f（x2）

所以f（x）在区间【0，+∞）上是减函数。

也就是证明f(x1)-f(x2)>0,(x1<x2)。