若有两个直角三角形，它们的周长和面积都相等，那么这两个直角三角形全等。对吗？任意三角形是否也可以？

更新时间2019-08-06 13:14:32

对于直角三角形周长为m,  面积为n，设两直角边为 a,b ，斜边为,c，   则有下列关系：

a+b+c=m             (1)

ab=2n                   (2)

a²+b²=c²               (3)

(1)变为  a+b=m-c   (4) 

两边平方得       a²+b²+2ab=m²+c²-2mc  

把（2）（3）  代入上式 得：            c²+4n=m²+c²-2mc 

可得   c=（m²-4n）/2m

由此可知，当 周长，面积为常数时，  斜边  c 就是常数，

由此  可知  两直角边 a,b就是方程组：

ab=2n                   (2)

a+b=m-c              (3)

的解，由韦达定理可知，a,b是二次方程   x²- (m-c)x+2n=0  的两个实数解，当（m-c）²-8n≥0时方程有两个实数解，他们就是直角三角形的两条直角边，可见方程有解时所得的解是确定的，

所以 面积和周长分别相等的直角三角形是全等的

所求的直角三角形也可以有作图得到：

求作 周长为 m,面积为 n 的直角三角形

设斜边上的高为h 而由  面积 n=ch/2.  可得  h=2n/c ,可知斜边上的高  h  也是常数

因为 斜边 c  和斜边上的高是常数，可以以斜边为直径BC作一个半圆，再作一条直线使它到直径BC的距离等于斜边上的高  h 这条直线与半圆交于两点A1，A2,则直角三角形 A1BC与A2BC就是所求的长为m,  面积为n的两个直角三角形，显然这两个直角三角形全等

对于面积相等，周长也相等的两个一般三角形，也可以类似的讨论，情况稍微复杂点，此处略

若有两个直角三角形,它们的周长和面积都相等,那么这两个直角三角形全等。是对的。任意本角形不可以。

直角三角形三边为a.b.c
满足a²+b²=c²
若面积相等
则有s1=s2
所以a1*b1=a2*b2
因为c1=c2
所以①a1=a2 ②a1=b2
两种情况都能证明全等