设函数f(x)=|x²-4x-5|,g(x)=k.

更新时间2019-07-28 11:35:29

问：若函数φ(x)=f(x)-g(x)有两个零点，求k的取值范围.

 

（1）当x＜-1或x＞5时，

φ(x)=f(x)-g(x)=x²-（4+k）x-5

令x²-（4+k）x-5=0，则-（4+k）²+20＞0

-2√5＜4+k＜2√5

-4-2√5＜k＜-4+2√5

（2）当-1≤x≤5时

φ(x)=f(x)-g(x)=-x²+（4-k）x+5

令-x²+（4-k）x+5=0

此时（4-k）²+20＞0

4-k＜-2√5或4-k＞2√5

k＞4+2√5或k＜4-2√5

x²-4x-5=(x-2)²-1

φ(x)=|x²-4x-5|-k

有两个零点，

那么k=0或者k>1

附

k=1时，φ(x)有3个零点

0<k<1时，φ(x)有4个零点

k<0时，φ(x)没有零点。

解：

∵f(x)=∣x²-4x-5∣有两个零点。两点之内的函数值范围为：（0，∣-（4×5+,4²）/4∣】即（0，9】

∴Φ（x）=f（x）-g(x)有两个零点，g(x)=k的取值范围为（0,9】

 

f(x)=|(x-5)(x+1)|=|(x-2)^2-9|
作出(x-2)^2-9的图像，将Y轴负半平面的部分反转到Y轴上半平面，顶点从（2，-9）变为（2，9），g(x)与其有交点，只能是通过顶点的平行与X轴的直线，此时k=9。

已知函数f(x)=|x²-4x-5|,g(x)=k

若函数φ(x)=f(x)-g(x)有两个零点，

即φ(x)=|x²-4x-5|-k有两个零点，即

|x²-4x-5|=k→|(x-2)²-9|=k有两个零点，

所以x≠2即k≠9，又f(x)≥0

所以K≥0且k≠9