求四边形周长是否存在最大值？

更新时间2019-07-27 18:50:54

四边形ABCD中 AB=CD=4,∠ABC等于2∠ABC ∠ABC＋∠BCD＝240°，请问四边形ABCD的周长是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时四边形ABCD的面积，若不存在说明理由。

 

存在最大值，当四边形ABCD是等腰梯形，且∠ADC=60°时，四边形ABCD的周长最大，最大值为20.
理由如下：
如上图，过点B作BE∥CD，且使BE=CD，连接AE，DE，则四边形BCDE是平行四边形，
∴BE=CD=AB=4，
∵∠ABE=240°-(∠EBC+∠BCD)=240°-180°=60°，∴△ABE等边三角形，∴AB=AE=BE=4,
设∠ABC=2x，∠ADC=x，∠BCD=240°-2x,∴∠BED=240°-2x，
∴∠AED=360°-∠BED-∠BEA=60°+2x,
又∠EDC=180°-∠BED=2x-60°，∴∠ADE=x-∠EDC=60°-x，
故在△AED中，∠ADE=60°-x，∠AED=60°+2x,
∴∠EAD=180°-∠AED-∠ADE=60°-x,∴DE=AE=4，∴BC=DE=4，
∴只要AD最大，四边形ABCD的周长就最大，因为AD≤ED+EA=8，所以AD的最大值为8（当点A、E、D共线时，取“=”).  ∴四边形ABCD的最大周长为4+4+4+8=20.