更新时间2019-07-25 22:39:59
重点不在过程，在于怎么推出辅助函数
好，一下就数形结合的方法分析一下证明思路，（你最好画画图形哦）
拉格朗日中值定理是由洛尔定理推出来的，看看他们的条件和结论的相同和不同之处就可以找到他们的联系，从而找到证明思路
除了连续和可导的条件之外，
洛尔定理说的是 如果有 f(a)=f(b), 则必有点c, a<c<b, 使得 f ′(c)=0
拉格朗日定理没有 f(a)=f(b) 的条件，结论是 必有点c, a<c<b, 使得 f ′(c)=[f(b)-f(a）]/(b-a)
一比较，可以看出 如果 f(b)=f(a), 拉格朗日定理的结论就是洛尔定理
再看看几何意义，洛尔定理说的是条件成立时，在 f(x)的 曲线上必有一点切线平行于x轴
拉格朗日定理说的是条件成立时，f(x) 的曲线上必有一点其切线平行于连接两个端点的弦
由此作一个函数 F(x) 使他等于函数值 f(x)与 弦的纵坐标的差，那么在两个端点处，F(a)=Fb)=0,由这个思路就可以设计一个辅助函数 F(x)=f(x)-{f(a)+(x-a)[f(b)-f(a)]/(b-a)] (*)
其中{ }内的式子就是连接曲线 f（x）上端点 A（a，f(a)）， B（b，f(b)）的弦所在直线上的点的纵坐标 y=f(a)+[f(b)-f(a)]/(x-a) （想想，这不就是弦的点斜式吗？）
(*) 中的 辅助函数 F（x）显然满足洛尔定理的条件：除了连续与可导的条件外，有F(b)=F(a)=0, 所以有c a<c<b 使得 F′(c)=0, 即 f ′(c)=（f(b)-f(a））/(b-a）
明白了辅助函数 （*）是怎么想到的吧？
搞清楚了拉格朗日定理证明中辅助函数的设计思路，其实你可以设计出一系列类似的辅助函数，甚至比书上的辅助函数更简单的函数，同样可以证明这个定理
试试吧，祝你成功
在拉格朗日中值定理的证明中如何构造辅助函数的问题，在网上有相关资料，而且推导过程很详细，可以仔细体会一下。比如这个https://wenku.baidu.com/view/177ab31610661ed9ad51f370.html
证明如下：如果函数f(x)在（a,b）上可导,[a,b]上连续,则必有一ξ∈[a,b]使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)示意图令f(x)为y,所以该公式可写成△y=f'(x+θ△x)*△x (0<θ<1)
利用罗尔定理
用罗尔定理证明，端点函数值要相等
根据几何图象，曲线和弦有公共端点，据此构造函数
即曲线减去直线（弦）
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