求a³＋b³＋c³－3abc＝(a+b+c)(a²+b²+c²－ab－bc－ca)的过程

更新时间2019-07-22 13:42:05

a³+b³+c³-3abc
=[( a+b)³-3a²b-3ab²]+c³-3abc
=[(a+b)³+c³]-(3a²b+3ab²+3abc)
=(a+b+c)[(a+b)²-(a+b)c+c²]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a²+b²+2ab-ac-bc+c²)-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-ac-bc)

用到公式：
a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)
(a+b)³=a³+b³+3a²b+3ab²

解答：原式=a^3+b^3+c^3-3abc 
               =[( a+b)^3-3a^2b-3ab^2]+c^3-3abc 
               =[(a+b)^3+c^3]-(3a^2b+3ab^2+3abc) 
               =(a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)c+c^2]-3ab(a+b+c) 
               =(a+b+c)(a^2+b^2+2ab-ac-bc+c^2)-3ab(a+b+c) 
               =(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)。

             故a³＋b³＋c³－3abc＝(a+b+c)(a²+b²+c²－ab－bc－ca)。

a³+b³+c³-3abc=（a+b）³+c³-3a²b-3ab²-3abc

=（a+b+c）【（a+b）²-（a+b）c+c²】-3ab（a+b+c）

=（a+b+c）【a²+b²+2ab-ac-bc+c²-3ab】

=（a+b+c）（a²+b²+c²-ab-bc-ca）

a³＋b³＋c³－3abc

=a³+3a²b+3ab²+b³+c³-3a²b-3ab²-3abc

=(a+b)³+c³-3a²b-3ab²-3abc

=(a+b+c)(a²+2ab+b²-ac-bc+c²)-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)(a²+2ab+b²-ac-bc+c²-3ab)

=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-ac-bc)