已知实数x,y满足不等式组x≥0x-2y≤0x+y-3≤0

更新时间2019-07-22 10:18:32

已知实数x,y满足不等式组x≥0 x-2y≤0 x+y-3≤0，则（x-1）^2+（y+2）^2的取值范围是

由不等式组  x ≥ 0，y ≥ x/2，y ≤ 3 - x，解集在图中 y 轴右侧、直线 y = 3 - x 下方，直线 y = x/2 上方，即绿色区域。

R^2 = (x-1)^2 + (y+2)^2 是半径为R、圆心在 ( 1，-2 ) 的圆，R取值范围为圆心到绿色区域的距离；

如红线所示，R最小为圆心到原点距离，R^2 = 1 + 2^2 = 5；

R最大为圆心到点 ( 0，3 ) 距离，R^2 = 1 + 5^2 = 26；

 (x-1)^2 + (y+2)^2 = R^2 的取值范围为 [ 5，26 ] 。

【1】不等式变成等式确定边界，

由不等号方向确定区域。

L₁：x≥0，边界线x=0，右边。

L₂：x-2y≤0，边界线y=x/2，上方。

L₃：x+y-3≤0，边界线y=-x+3，下方。

【2】确定直线的交点。

L₁与L₂的交点A(0,0)，

L₂与L₃的交点B(2,1)，

L₃与L₁的交点C(0,3)。

不等式组的解在∆ABC内。

【3】(x-1)²+(y+2)²=r²图形是圆。

圆心O(1,-2)，半径r。

最大半径是OA、OB、OC的最大值。

OA=√[(1-0)²+(-2-0)²]=√5

OB=√[(1-2)²+(-2-1)²]=√10

OC=√[(1-0)²+(-2-3)²]=√26

最小半径是O到L₁L₂L₃的距离最小值。

即O到L₂的距离

|-1-2(-2)|/√[1²+(-2)²]=3/√5

∴(x-1)²+(y+2)²的范围是区间[9/5,26]。