更新时间2019-06-12 21:17:05
最好有图示
关于极值问题，一元函数与多元函数有类似的性质，即一般只有必要条件与充分条件，似乎不存在严格意义下的充分必要条件。
极值存在的必要条件：一元函数为一阶导数为0，多元函数为一阶偏导数为0。但不是充分条件，即一阶导数为0时不一定取得极值，如y=x³，y'=3x²=0，得驻点x=0，但x=0不是极值点。如z=xy，有∂z/∂x=y=0，∂z/∂y=x=0，得驻点（0，0），但不是极值点。
极值存在的充分条件：一元函数由二阶导数判别，如y=x²，y'=2x=0，驻点为x=0，而y''(0)=2>0，所以x=0为极小值点；如y=-x²，y'=-2x=0，驻点为x=0，而y''(0)=-2<0，所以x=0为极大值点。注意，若y''=0，则无法判别，需要用一阶导数的左右是否变号进行判别。
二元函数z=z(x，y)由两个二阶偏导数用一个二阶混合偏导数判别。如z=xy，A=∂²z/∂x²=0，C=∂²z/∂y²=0，B=∂²z/∂x∂y=1，因为B²-AC=1>0，所以（0，0）不是极值点。
若B²-AC<0，且A<0时为极大值，A>0时为极小值。若B²-AC=0，则无法判别，需要用其他方法。
答案：这是很正常的事情，例如y=x^4，偏导为0，但是极值不存在。极值问题，除了偏导之外，还要再看高阶导数的情况才能决定。
不取得极值的了
z=xy，在原点，俩偏导数都等于零，但在原点不取得极值。
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