已知函数y=y1+y2，其中y1与x成正比例，y2与x-2成反比例

更新时间2019-06-01 15:19:39

 已知函数y=y1+y2，其中y1与x成正比例，y2与x-2成反比例，函数的自变量x的取值范围是x大于等于２分之１且当x＝１或x＝４时，y的值均为2分之3。         请对该函数及其图像进行如下探究：

（1）解析式探究：根据给定的条件，可以确定出该函数的解析式为：             

（2）函数图象探究：1根据解析式，选取适当的自变量x，跟完成下表：

  x   2分之1                               ...

  y                                             ...

（3）若直线y=k与该函数图像有两个交点，这k的取值范围是         ，此时，x的取值范围是     。

解：由题可设 y1=ax、y2=b/(x-2)，则

           y=y1+y2=ax+b/(x-2)             (1)

      因x=1、4时y均等于3/2，固有

             a+b=3/2                               (2)

           4a+b/2=3/2                            (3)

      联立求解式(2)、(3)，得 a=14/3、b=9/7，代入式(1)，得

1)         y=(14/3)x+(9/7)/(x-2)=14x/3+9/(7x-14)          (4)

      显然 x=2 是 y 的极点，故 x 的取值范围为 [1/2, 2)、(2, +∞)

2)    将 x=1/2,...（x≠2）代如上式(4)，即可得到相应的y值（请提问者自行完成）

      令 y'=14/3-(9/7)/(x-2)²=0 --> 98x²-392x+365=0

      得 x=[392±√(392²-4*98*365)]/(2*98)=2±3√294/98

      即 x1=2-3√294/98 与 x2=2+3√294/98 是函数 y 的两个极值点

      又 y"=(18/7)/(x-2)³

      故 y"(x=x1 )<0 --> 1/2<x1=2-3√294/98<2 是 y 的极大值点，且

             max y=14(2-3√294/98)/3+(9/7)/(2-3√294/98-2)

                      =28/3-(2/7)√294

          y"(x=x2 )>0 --> x2=2+3√294/98>2 是 y 的极小值点，且

             min y=14(2+3√294/98)/3+(9/7)/(2+3√294/98-2)

                      =28/3+(2/7)√294

      当 x=[1/2, 2-3√294/98)时 y 单调增，x=(2-3√294/98, 2)时 y 单调减；

      当 x=(2, 2+3√294/98)时 y 单调减，x=(2, +∞) 时 y 单调增。

3） 由 x∈[1/2, 2)时的max y < x∈(2, +∞)时的 min y，以及

         y(x=1/2)=14/(3*2)+(9/7)/(1/2-2)=31/21

         lim[x-->2-]=-∞；lim[x-->2+]=+∞；lim[x-->+∞]=+∞；

     要使直线 y=k 与 函数 y=(14/3)x+(9/7)/(x-2)只有两个交点时，k必须满足

         31/21<k<28/3-(2/7)√294 或 k>28/3+(2/7)√294