这道题当x趋于0时，为什么等于后面，我没看懂

更新时间2019-05-27 18:04:15

原式 = { [ √( 1 + xarcsinx ) ]^2 - [ √cosx ]^2 } / [ √( 1 + xarcsinx ) + √cosx ]

= { [ √( 1 + xarcsinx ) + √cosx ][ √( 1 + xarcsinx ) - √cosx ] } / [ √( 1 + xarcsinx ) + √cosx ] 

= √( 1 + xarcsinx ) - √cosx；

√( 1 + xarcsinx ) → 1 + (xarcsinx )/2 → 1 + x^2/2；【 x、arcsinx 是同阶无穷小 】

√cosx → √√ [ 1 - (sinx)^2 ] → √√ [ 1 - x^2 ] → √ [ 1 - x^2/2 ]  → 1 - x^2/4 【 sinx/x = 1】

故 [ √( 1 + xarcsinx ) - √cosx ] → 1 + x^2/2 - 1 + x^2/4 = 2x^2/4 + x^2/4 = (3/4)x^2 。

原式=[xarcsinx-(cosx-1)]/[√(1+xarcsinx)+√cosx]。因为xarcsinx～x²，cosx-1～-x²/2，故xarcsinx与cosx-1不是等价无穷小，所以根据无穷小的“和差替换”法则，xarcsinx-(cosx-1)～x²-(-x²/2)=3x²/2，即1+xarcsinx-cosx与3x²/2是等价无穷小。

显然分母√(1+xarcsinx)+√cosx→2，故原式=[xarcsinx-(cosx-1)]/[√(1+xarcsinx)+√cosx]～3x²/4。