更新时间2018-03-11 17:05:44
设f(x)是定义在R上的函数,且对任意的x∈R,满足b[f(x+p)+f(x)]=a[1-f(x)f(x+p)](a,b,p≠0).求证：f(x)是一个周期函数，并求其周期
证明：∵f(x)为定义在x∈R上的函数
且满足 b[f(x+p)+f(x)]=a[1-f(x)f(x+p)] ①，（a、b、p均不为0）
∴可得到 b[f(x)+f(x-p)]=a[1-f(x-p)f(x)] ②
∴①-②，得 b[f(x+p)-f(x-p)]=a[f(x-p)f(x)-f(x+p)f(x)]=af(x)[f(x-p)-f(x+p)]
<=> f(x)=-(b/a){[f(x+p)-f(x-p)]/[f(x+p)-f(x-p)]}
∴当f(x+p)≠f(x-p)时，f(x)=-b/a，即对任意x∈R，都有f(x)=-b/a
故f(x+T)=f(x)=-b/a，f(x)是周期函数，周期为任意常数，即T=R
当f(x+p)=f(x-p)时，即f((x+p)+p)=f(x+2p)=f(x)=f((x-p)+p)
故f(x+2p)=f(x)，f(x)是周期函数，周期T=2p
∴综上所述，f(x)在 x∈R 上是周期函数，周期T=2p 。
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证明：根据题意可知：
b【f（x+2p）+f（x+p）】=a【1-f（x+p）f（x+2p）】①
b【f（x+p）+f（x）】=a【1-f（x）f（x+p）】②
①-②得：b【f（x+2p）-f（x）】=af（x+p）【f（x）-f（x+2p）】
即f（x+p）=-a分之b
对于任何x属于实数的值是恒定的，所以不是周期函数？
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