初三数学挑战题

更新时间2019-05-19 10:56:44

如图，在边长为2的正方形ABCD中，G是AD延长线上一点，DG＝AD，动点M从A点出发，以每秒1个单位的速度沿A→C→G的路线向G点匀速运动（M不与A、G重合），设运动时间为t秒，连BM并延长AG于N。
当点N在AD边上时，若BN⊥HN，HN交∠CDG的平分线于H，求证：BN＝HN
请问能用几何的方法解这道题吗？我貌似用了比较复杂的方法，设了未知数，用了相似，先表示出AN，然后我再作HQ⊥DG，算出HQ的表达式与AN相同，然后△BAN≌△NHQ证的。请问还有别的方法吗，或说我这种方法可行吗？

如图：做BE=ND……①

∵ ∠HND+∠BNA=180°-90°=∠NBE+∠BNA

∴ ∠HND=∠NBE（2蓝角相等）……②

AE+BE=AN+ND

AE=AN

∠NEA=∠HDG=45°

∠BEN=∠HDN=135°（2红角相等）……③

由①②③得：

△BEN ≌ △NDH

BN=NH

首先恭喜你，你的证法是完全可行的。

更简单的证明方法：
以AN为直角边向上作等腰直角三角形ANP

所以BP=ND（等式性质）

∠BPN=∠NDH=135°

通过外角性质可以导出∠PBN=∠DNH

所以△BPN≌△NDH

所以BN=HN

擦去无关的线段后，会是题目更加容易理解

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