求与两点p1（3，-2,9），p2（-6,0，-4）距离相等的平面方程

更新时间2019-03-10 11:29:04

解： x=(3-6)/2=-3/2

y=(-2+0)/2=-1

z=(9-4)/2=5/2

所以：P₁P₂的中点 A(-3/2. -1, 5/2)

P₁P₂方程：(x-3)/(-6-3)=(y+2)/(0+2)=(z-9)/(-4-9)

(x-3)/-9=(y+2)/2=(z+9)/-13

所以：平面的法向量是（-9，2，-13）

所以：所求的两面是：-9(x+3/2)+2(y+1)-13(z-5/2)=0

整理： -9x+2y-13z-27/2+2+65/2=0

9x-2y+13-21=0, #

平面π与两个不同点P₁、P₂的距离相等，就是指平面π为连接P₁、P₂两点的线段的垂直平分面。

设平面的一般方程为Ax+By+Cz+D=0，点P（x0，y0，z0）到平面的距离公式为

d=|Ax0+By0+Cz0+D|/√(A²+B²+C²)。

所以，可以得到

|3A-2B+9C+D|=|-6A-4C+D|

显然，过P₁、P₂两点的直线的方向向量与平面π的法向量平行，故可取法向量为（A、B、C）=（-9，2，-13），代入上式，解得D=22。

所以，所求平面方程为

-9x+2y-13z+22=0