数学余弦定理

更新时间2019-02-14 17:22:18

．在ABC 中，已知 a
2
+b2
=c
2
+ab．
1）求角 C 的大小；
2）又若 sinAsinB=
!
!
，判断ABC 的形状．

已知：a²+b²=c²+ab，

所以 c²=a²+b²-ab；

又 c²=a²+b²-2abcosC，

所以 2cosC=1，

cosC=1/2，C=60°。

cos(A+B)=cos(180°-C)

=cos120°=-1/2

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

cosAcosB=-1/2-(3/4)=1/4=(1/2)²

所以A=B=60°

是等边三角形。

根据余弦定理

c^2=a^2+b^2-2abcosC

所以

a^2+b^2=c^2+ab

a^2+b^2=a^2+b^2-2abcosC+ab

2abcosC=ab

cosC=1/2

C=60度

sinA*sinB=3/4

根据正弦定理

asinC/c*bsinC/c=3/4

ab*(sinC)^2=3/4*c^2

ab*(√3/2)^2=3/4*c^2

c^2=ab

又

a^2+b^2=c^2+ab

a^2+b^2=2ab

a^2-2ab+b^2=0

(a-b)^2=0

a-b=0

a=b

三角形ABC为等腰三角形

又角C=60度，所以角A=角B=60度

所以

三角形ABC为等边三角形

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