f(x)=(X-1)e^X,若任意x>;1，都有f(X)>=x+m+ln(X-1)成立，求m取值范围

更新时间2019-02-06 11:25:25

f(x)=(x-1)eˣ

构造g(x)=f(x)-x-m-ln(x-1) x>1

g'(x)=eˣ+(x-1)eˣ-1-1/(x-1)

       =xeˣ-1/(x-1)-1

       =[x(x-1)eˣ-x+1-1]/(x-1)

       =[x(x-1)eˣ-x]/(x-1)

驻点x[(x-1)eˣ-1]=0→eˣ=1/(x-1)→x₀=-ln(x₀-1) 左-右+ 为极小值点

当极小值g(x₀)≥0时，不等式恒成立：

g(x₀)=(x₀-1)·1/(x₀-1)-m+ln(x₀-1)-ln(x-1)=1-m≥0

∴m∈(-∞,1]

f(x)≥x+m+ln(x-1)，即m≤f(x)-x-ln(x-1)对所有x∈(1,+∞)成立，故求出f(x)-x-ln(x-1)在(1,+∞)上的最小值k即可，m的取值范围就是m≤k。