分式5x²﹢30xy﹢51y²/x²﹢6xy﹢11y²的最小值是?

更新时间2019-01-12 11:11:17

原式 = ( 5x^2 + 30xy + 55y^2 )/ ( x^2 + 6xy + 11y^2 ) - 4y^2/ ( x^2 + 6xy + 11y^2 ) 

= 5 ( x^2 + 6xy + 11y^2 )/ ( x^2 + 6xy + 11y^2 ) - 4y^2/ [ ( x + 3y )^2 + 2y^2 ]

= 5 - 2/ [ ( x + 3y )^2/(2y^2) + 1 ]；

显然， ( x + 3y )^2/(2y^2) 越小，2/ [ ( x + 3y )^2/(2y^2) + 1 ] 越大，原式的值越小；

∵   ( x + 3y )^2/(2y^2) ≥ 0， ∴  x = 3y 时， ( x + 3y )^2/(2y^2) = 0，原式 = 5 - 2/1 = 3；

最小值是 3 。

分式=5-（4y²）/[(x+3y)²+2y²]，取x=-3y得最小值3