数学专业来答，二阶椭圆型方程的极值原理，求证明

更新时间2019-01-10 18:15:02

数学专业来答，二阶椭圆型方程的极值原理，求大神给个证明，谢谢~~~

1、记号，向量：X=(x1 x2 ... xn)^T，Y=(y1 y2 ... yn)^T，B=(b1 b2 ... bn)；矩阵：A=[aij]；偏导算符：(∂/∂xi)·u=∂u/∂xi，(∂/∂yi)·u=∂u/∂yi，算符相乘：[(∂/∂xi)·(∂/∂xj)]u=∂²u/∂xi∂xj，[(∂/∂yi)·(∂/∂yj)]u=∂²u/∂yi∂yj。

上述二阶偏微分方程可写为[(∂/∂x1 ∂/∂x2 ... ∂/∂xn)A(∂/∂x1 ∂/∂x2 ... ∂/∂xn)^T]u+[B·(∂/∂x1 ∂/∂x2 ... ∂/∂xn)^T]u+cu=0。

2、由于矩阵A是正定的，做正交变换Y=QX，其中Q为正交矩阵，使得Q^TAQ=diag(λ1 λ2 ... λn)，其中λi＞0为A的特征值。方程可化为：

[(∂/∂y1 ∂/∂y2 ... ∂/∂yn)Q^TAQ(∂/∂y1 ∂/∂y2 ... ∂/∂yn)^T]u+[BQ·(∂/∂y1 ∂/∂y2 ... ∂/∂yn)^T]u+cu=0，或者：

∑(i=1→n)λi·(∂²u/∂yi²)+∑(i=1→n)Bi·(∂u/∂yi)+cu=0。 (1)

3、设上述正交变换将区域Ω变为Ω′，显然只要证明方程(1)不能在Ω′内部取得正的最大值即可。若u在Ω′内部某点Y0取得正的最大值，则u(Y0)＞0，∂u(Y0)/∂yi=0，∂²u(Y0)/∂yi²≤0，i=1,2,...,n，代入方程左边显然有∑(i=1→n)λi·(∂²u(Y0)/∂yi²)+∑(i=1→n)Bi·(∂u(Y0)/∂yi)+cu(Y0)≤cu(Y0)＜0，得出矛盾。同理可证负的极小值的情形。