求黑色面积，在线等

更新时间2019-01-08 18:54:33

解：设矩形的四个顶点为A（下左）、B（下右）、C（上右）、D（上左），

      CD的中点为O（即圆心）；以O为坐标原点建立直角坐标系，CD位于x轴上，

      则圆的方程为：x²+y²=4²=16；直线方程为：y=0.5x-2

      设圆与直线的交点坐标为P(x, y)，则该点坐标满足

      x²+(0.5x-2)²=16-->x²-1.6x-9.6=(x+2.4)(x-4)=0-->x1=-2.4，x2=4（舍去）

     将 x=-2.4代入直线方程，得 y=-3.2，即P点坐标为P(-2.4, -3.2)。

     过P点作⊥AB的直线交AB于M，则M点坐标为M(-2.4, -4)；

     另，半圆与直线AB切点坐标为N(0, -4)；连接OP、ON，则

     扇形OPN对应的圆心角为θ=atan2.4/3.2=atan0.75，故扇形面积为

     Sopn=θr²/2=4²atan0.75/2=8atan0.75

     则阴影部分面积S为

      S=直角▲AMP面积Samp+圆弧PN正下方到AB线之间面积Spmn

      Samp=(4-2.4)(4-3.2)/2=0.64

      Spmn=2.4(4-3.2)-(Sopn-2.4*3.2/2)

               =2.4*0.8+2.4*1.6-8atan0.75

               =2.4²-8atan0.75

               ≈5.76-5.148=0.612

      故 S=0.64+0.612=1.252

【0】建立坐标系。

对角线方程：y=x/2；

圆弧方程：y=4-√[4²-(x-4)²]。

【1】对角线与弧相交：(x/2-4)²=4²-(x-4)²。

x²-16x+64=4(8x-x²)，5x²-48x+64=0，

(x-8)(5x-8)=0。x₁=8，x₂=8/5。

交点(1.6，0.8)。

【31】f(x)=∫(x/2)dx=x²/4+c，

积分区间(0，1.6)。f(1.6)-f(0)=0.64。

【32】g(x)=∫{4-√[4²-(x-4)²]}dx，

积分区间(1.6，4)。

g(x)=4x-(1/2)(x-4)√[4²-(x-4)²]-8arcsin[(x-4)/4]+c。

g(4)-g(1.6)=16-(6.4+1.2*3.2+8arcsin0.6)

=5.76-8arcsin0.6

【3】黑色区域面积=6.4-8arcsin0.6。

【附】用近似公式计算。

g(4)-g(1.6)≈(1/3)*0.8*(4-1.6)=0.64，

黑色区域面积≈1.28。