超难的一道证明题

更新时间2019-01-02 19:52:34

已知：x＞1，f(x)=(1+1/x)^x+(1+x)^(1/x)

证明：f(x)为单调递减函数。

g(x) = (1+1/x)^x，h(x) = (1+x)^(1/x)，f(x) = g(x) + h(x)；

g'(x) = (1+1/x)^x * ln(1+1/x) - x(1/x^2) (1+1/x)^(x-1)，g'(1) = 2ln2 - 1；

h'(x) = (-1/x^2)(1+x)^(1/x) * ln(1+x) + (1/x)(1+x)^(1/x - 1)，h'(1) = -2ln2 + 1；

f'(x) = g'(x) + h'(x) = 0；

g(0) = 1，g(1) = 2，g(∞) = e；h(0) = e，h(1) = 2，h(∞) = 1；

∴ f(0) = 1 + e，f(1) = 4，f(∞) = 1 + e，x = 1 是 极大点；

∴ x > 1，f(x) 单调减 。

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题目确实难，真的难。