D是等边△ABC外的一点，DB=DC，∠BDC=120°，点EF分别在AB,AC上，ED平分∠BEF

更新时间2018-12-12 19:48:54

求证：（1）FD平分∠EFC
（2）△AEF的周长是BC长的2倍

解：（1）过D点作DM⊥EF，连接AD

∵ AD是BC的垂直平分线 （易证）

∴ AD平分∠BAC

∵ △ABC是等边三角形

∴ ∠ABC=∠ACB=60°

∵ BD=DC，∠BDC=120°

∴ ∠DBC=∠DCB=30°

∴ ∠ABD=∠ACD=90°

∴ DB⊥AB，DC⊥AC

∵ DM⊥EF，ED平分∠BEF，AD平分∠BAC

∴ BD=DM，BD=DC

∴ DM=DC

∴ FD平分∠EFC

（2）∵ DE平分∠BEF，BD⊥AB

       ∴ BE=EM

       同理，CF=FM

       ∴ BE+FC=EM+FM=EF

      AE+AF+EF=AE+AF+BE+CF=AB+AC

       ∵ AB=AC=BC

       ∴ AE+AF+BE+CF=2BC

       即 △AEF的周长是BC长的2倍

过D作DG⊥EF

DG=DB=DC

DF平分∠EFC

△DBE≌△BGE

EG=EB

FG=FC

AE+AF+EF=AE+AF+EB+FC=AB+AC=2BC

解：∵等边△ABC，DB=DC，∠BDC=120°

∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°

∴∠ABD=∠ACD=90°

过点D作DM⊥EF，垂足M

∴∠DME=∠ABD=90°=∠DMF=∠ACD

∵ED平分∠BEF

∴∠BED=∠MED

∵DE=DE

∴△DBE≌△DME（AAS）

∴DM=DB=DC

∵DF=DF

∴△DFM≌△DFC（HL）

∴∠DFM=∠DFC

即：FD平分∠EFC

∵等边△ABC

∴AB=BC=AC

∵△DBE≌△DME，△DFM≌△DFC

∴BE=EM，FC=FM

∵EF=EM+FM=BE+CF

∴△AEF的周长=AE+BE+CF+AF=AE+EF+AF=AB+AC=2BC

太麻烦了，写下思路

（1）过D作DM⊥EF，连接AD，求出AD平分∠BAC，求出∠ABC=∠ACB=60°，求出BD=DM，BD=DC，推出DM=DC即可；

（2）求出DB=DM，DM=DC，∠EBD=∠EMD=90°，证出△EBD≌△EMD，推出EM=BE，同理FC=FM，求出EF=BE+CF，即可得出答案．