更新时间2018-12-11 10:14:21
设认一正整数A=P1^a1 * P2^a2……Pn^an，其中P1，P2........是不同的素数，a1,a2.......对应它们的幂，证明整数A的不同因子（包含1和A）的个数由乘积
（a1+1）（a2+1）......（an+1）给出，如
24=2^3*3
则个数N=(3+1)(1+1)=4*2=8(1,2,3,4,6,8,12,24)
用对A的不同素因子的个数做数学归纳法。
当A可表为单个素因子的幂时，即A=P1^(a1)，其不同因子为P1^j，j=0,1,2，...，a1，共有a1+1个，此处P1^0=1。
设当A可表为n-1不同素因子的幂时，即A=P1^(a1)·P2^(a2)·...·P(n-1)^[a(n-1)]，其不同因子的个数为(a1+1)·(a2+2)...·[a(n-1)+1]；
那么当A可表为n不同素因子的幂时，即A=P1^(a1)·P2^(a2)·...·P(n-1)^[a(n-1)]·Pn^(an)，记A1=P1^(a1)·P2^(a2)·...·P(n-1)^[a(n-1)]，由归纳假设A1有(a1+1)·(a2+2)...·[a(n-1)+1]个不同因子，记为Qi，i=1,2，...，(a1+1)·(a2+2)...·[a(n-1)+1]。由于A=A1·Pn^(an)，所以A的所有不同因子为：Qi·Pn^j，此处i=1,2，...，(a1+1)·(a2+2)...·[a(n-1)+1]，j=0,1,2，...，an，共有(a1+1)·(a2+2)...·[a(n-1)+1]·(an+1)个。
证明：
因为P1有a1个相乘
在选择组成A的因数的时候就有a1+1个选择（0-a1个共a1+1个）
同理P2就有a2+1个选择
......
PN有an+1个选择
我们进行组合就可以有（a1+1）（a2+1）......（an+1）种选择
所以整数A的不同因子（包括1个A）的个数由乘积（a1+1）（a2+1）......（an+1）给出
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