这两个公式如何推导？

更新时间2018-11-25 21:36:25

a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)]
a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m为奇数)
两个因式分解的公式，想了解一下

解：用的是增补法

a^n-b^n

=a^n+a^(n-1)*b+a^(n-2)*b^2+...+a^2*b^(n-2)+a*b^(n-1)

-a^(n-1)*b-a^(n-2)*b^2-...-a^2*b(n-2)-a*b^(n-1)-b^n

=a[a^(n-1)+a^(n-2)*b+...+a*b^(n-2)+b^(n-1)]

-b[a^(n-1)+a^(n-2)*b+...+a*b^(n-2)+b^(n-1)]

=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)*b+...+a*b^(n-2)+b^(n-1)]

a^m+b^m(m为奇数)

=a^m-(-b)^m

=a^m+a^(m-1)*(-b)+a^(m-2)*(-b)^2+...+a^2*(-b)^(m-2)+a*(-b)^(m-1)

-a^(m-1)*(-b)-a^(m-2)*(-b)^2-...-a^2*(-b)^(m-2)-a*(-b)^(m-1)-b^m

=a[a^(m-1)+a^(m-2)*(-b)+...+a*(-b)^(m-2)+(-b)^(m-1)]

-(-b)[a^(m-1)+a^(m-2)*(-b)+...+a*(-b)^(m-2)+(-b)^(m-1)]

=[a-(-b)][a^(m-1)+a^(m-2)*(-b)+...+a*(-b)^(m-2)+(-b)^(m-1)]

=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)]