在△ABC中，∠BAC，AD⊥BC，垂足为D

更新时间2018-10-25 23:28:31

你能得出AD²=BD×DC吗？

在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，求证：AD²=BD·DC

方法一：

∵∠BAC=90°，AD⊥BC

∴AB²=BC²-AC²=AD²+BD²，AC²- CD²= AD²

∴AD²= BC²-AC²- BD²= （BD+CD）²-AC²- BD²

∴AD²=2BD·CD+CD²-AC²=2BD·CD-（AC²- CD²）

∴AD²=2BD·CD- AD²

∴2 AD²=2BD·CD

∴AD²=BD·DC

方法二：

∵∠BAC=90°，AD⊥BC

∴∠BAD=∠C

∴tan∠BAD=BD/AD=tan∠C=AD/CD

∴AD²=BD·DC

方法三

∵∠BAC=90°，AD⊥BC

不难证明△ADC∽△BDA

∴AD/BD =CD /AD

∴AD²=BD·DC

您好：

三角形abd与三角形cad相似，bd：ad=ad：cd，即有AD²=BD×DC