证明:n∣a^2k+1+（n-a）^2k+1(n,a,k∈N*)

更新时间2018-10-21 18:17:28

证明：任意自然数n都可以整除a的2k+1次方+（n-a）的2k+1次方（a，k是自然数）。

比如令n=7，k=1，a=3，7可以整除3的3次方+（7-3）的三次方=91.

a^(2k+1)+（n-a）^(2k+1)

=[a+（n-a）][a^(2k)-a^(2k-1)*（n-a）+…-a*（n-a）^(2k-1)+（n-a）^(2k)]

=n[a^(2k)-a^(2k-1)*（n-a）+…-a*（n-a）^(2k-1)+（n-a）^(2k)]

故：n∣a^(2k+1)+（n-a）^(2k+1)(n,a,k∈N*)

也可以用归纳法证明

k=1,2时，均成立

假设k=p时，a^(2k+1)+（n-a）^(2k+1)=a^(2p+1)+（n-a）^(2p+1)=qn      q∈N*

当k=p+1时，a^(2k+1)+（n-a）^(2k+1)

=a^(2p+3)+（n-a）^(2p+3)

=a²×a^(2p+1)+（n-a）²×（n-a）^(2p+1)

=a²×a^(2p+1)+（n²-2na+a²）×（n-a）^(2p+1)

=a²×[a^(2p+1)+（n-a）^(2p+1)]+n(n-2a)×（n-a）^(2p+1)

=pn+n(n-2a)×（n-a）^(2p+1)

=n[p+(n-2a)×（n-a）^(2p+1)]

能被n整除

故：n∣a^(2k+1)+（n-a）^(2k+1)(n,a,k∈N*)