三角形面积，怎么证明？下面七到十六，分别怎么证明呢？

更新时间2018-10-06 21:38:08

 

7、S=1/2·|OA|·|OB|·sin∠AOB=1/2·√（|OA|²·|OB|²·sin²∠AOB）

=1/2·√[|OA|²·|OB|²·(1-cos²∠AOB]

=1/2·√[|OA|²·|OB|²-|OA|²·|OB|²·cos²∠AOB]

=1/2·√[|OA|²·|OB|²-|OA·OB|²]

8至15题，用到的基本公式及转换过程：

三角形的面积S=1/2·absinC=1/2·acsinB=1/2·bcsinA=1/2·(a+b+c)r=pr

正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

余弦定理：a²+b²-c²=2abcosC

A+B+C=180°,sin(A+B )=sinC，sinA+sinB=2sin[(A+B)/2]·cos[(A-B)/2]

sin[(A+B)/2]=cos(C/2)，sinC=2sin(C/2)(cosC/2)

故：sinA+sinB+sinC=2sin[(A+B)/2]·cos[(A-B)/2]+2sin(C/2)(cosC/2)

=2(cosC/2)·cos[(A-B)/2]+2sin(C/2)cos(C/2)

=2(cosC/2)·{cos[(A-B)/2]+sin(C/2)}

=2(cosC/2)·{cos[(A-B)/2]+cos[(A+B)/2)]}

=4(cosC/2)·(cosA/2)·(cosB/2)

灵活利用以上公式，可以证明8至15题

16题：在坐标系中，把三角形的面积转换成梯形面积（或矩形）相加减的形式可以证明

可以用余弦定理来推导

最上面一个可以考虑用余弦定理，最后化成底*高/2。