更新时间2018-08-13 13:29:28
通用说法：超越数是指不能用加减乘除乘方开方六则运算得到的数。
数学上：如果一个复数是某个系数不全为零的整系数多项式的根，则称此复数为代数数。不是代数数的复数，叫做超越数。
超越数论是以超越数为研究对象的数论分支之一。
历史上第一个证明了超越数存在性的是法国数学家刘维尔（J.Liouville,1809~1882）,他于1851年构造了一个数：
a=0.110001000000000000000001000…（a=1/10^1!+1/10^2!+1/10^3!+…），并且证明取这个a不可能满足任何整系数代数方程，由此证明了它不是一个代数数，而是一个超越数。
后来人们为了纪念他首次证明了超越数，所以把数a称为刘维尔数。
研究发现：无理代数数的有理数逼近的精密性有一个限度，借此刘维尔1844年构造出历史上第一批超越数。
1744年，欧拉证明了自然对数的底e是无理数；
1761年，朗伯证明了圆周率π是无理数；
1873年，埃尔米特证明了e是超越数，从而使超越数论进入一个新阶段；
1882年，林德曼推广了埃尔米特的方法，证明了π是超越数，从而解决了古希腊的“化圆为方”问题。
19世纪超越数论的最高成就,是林德曼-外尔施特拉斯定理。
研究超越数的意义：
证明某些数是超越数有着重大的意义，比如说π的超越性的证明就彻底地解决了古希腊三大作图问题中的化圆为方问题，即化圆为方是不可能的。
判断某些给定的数是否超越数实非常困难了，为了获得上述结果，一个多世纪以来，数学家们付出了艰苦的劳动。即便如此，这个领域仍旧迷雾重重。比如说，现今仍然无法断定像e+π和这样的数到底是代数数还是超越数。
超越数论的最新发展使用着来自交换代数、代数几何、多复变函数论、甚至上同调理论的方法，正处于活跃之时。
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