已知∠A=π/3,2bsinB+2csinC=bc+根号下3a，求三角形ABC面积的最大值

更新时间2018-07-08 00:03:58

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3乘以根号3除以4

2bsinB+2csinC=bc+√3a

2bsin[180°-(A+C)]+2csinC=bc+√3a

2bsin(A+C)+2csinC=bc+√3a

A+C=90°，即C=30°，B=90°

即2b+c=bc+√3a

SABC最大=1/2√3ac=1/2(2b+c-bc)=1/2【2b+c(1-b)】

即ABC越接近直角三角形，面积越大。

已知∠A=π/3,2bsinB+2csinC=bc+根号下3a，求三角形ABC面积的最大值

2bsinB+2csinC=bc+√3a

bc=2bsinB+2csinC-2asinA

2RsinBsinC=2sin²B+2sin²C-2sin²A

2RsinBsinC=2sin²B+2sin²C-2(sinBcosC+cosBsinC)²

2RsinBsinC=2sin²B+2sin²C-2sin²Bcos²C-2cos²Bsin²C-4sinBcosBsinCcosC

2RsinBsinC=2sin²B(1-cos²C)+2sin²C(1-cos²B)-4sinBcosBsinCcosC

2RsinBsinC=4sin²Bsin²C-4sinBcosBsinCcosC

sinBsinC(4sinBsinC-4cosBcosC-2R)=0

∵sinBsinC≠0→2R=-cos(B+C)=cosA=½

S=½bcsinA=¼√3bc=¼√3(2R)²sinBsin(⅔π-B)

f(B)=sinBsin(⅔π-B)

f'(B)=cosBsin(⅔π-B)-sinBcos(⅔π-B)=sin(2B-⅔π)→驻点B=⅓π 

当三角形为正三角形时，面积最大

Smax=¼√3(½)²·¾=3√3/64

2bsinB+2csinC=bc+√3a

bc=2bsinB+2csinC-2asinA

2RsinBsinC=2sin²B+2sin²C-2sin²A

2RsinBsinC=2sin²B+2sin²C-2(sinBcosC+cosBsinC)²

2RsinBsinC=2sin²B+2sin²C-2sin²Bcos²C-2cos²Bsin²C-4sinBcosBsinCcosC

2RsinBsinC=2sin²B(1-cos²C)+2sin²C(1-cos²B)-4sinBcosBsinCcosC

2RsinBsinC=4sin²Bsin²C-4sinBcosBsinCcosC

sinBsinC(4sinBsinC-4cosBcosC-2R)=0

∵sinBsinC≠0→2R=-cos(B+C)=cosA=½

S=½bcsinA=¼√3bc=¼√3(2R)²sinBsin(⅔π-B)

f(B)=sinBsin(⅔π-B)

f'(B)=cosBsin(⅔π-B)-sinBcos(⅔π-B)=sin(2B-⅔π)→驻点B=⅓π 

当三角形为正三角形时，面积最大

Smax=¼√3(½)²·¾=3√3/64