求函数z=(x^2+y^2)e^-(x^2+y^2)的极值

更新时间2018-06-18 15:34:30

如题。

解：令x=rcosθ，y=rsinθ，则x²+y²=r²，代入原式，有

       z=r²e^-r²

       z'=2re^-r²-2r•r²e^-r²=2r(1-r²)e^-r²

       z"=2(1-3r²)e^-r²-4r²(1-r²)e^-r²=2(1-5r²+2r²r²)e^-r²

      令z'=0，可求得三个根：r=0，r=±1

       当r=0时，z"=2>0，是极小值点，min{z}=z(r=0)=0

       当r=±1时，z"=-4/e<0，是极大值点，max{z}=z(r=±1)=1/e

答：z的极小值点为r²=x²+y²=0即位于原点，且min{z}=0；

      z的极大值点为r²=x²+y²=1即在单位圆周上，且max{z}=1/e。

求驻点然后判别

假设u=x^2+y^2，则函数z=u/e^u

对函数z求导可得，z'=(1-u)/e^u

令z'=0，可得u=1

代入函数z可得，z=1/e