已知数列{an}的各项均为正数，记数列{an}的前n项和为Sn，数列{an²}的前n项和为Tn，

更新时间2018-05-20 10:01:22

且3Tn=Sn²+2Sn，n∈N*。

（1）求a1的值；

（2）求数列{an}的通项公式。

证：

n=1时，S1=a1  T1=a1²，代入(Sn-2)²+3Tn=4

(a1-2)²+3a1²=4

整理，得

a1²-a1=0

a1(a1-1)=0

数列各项均为正，a1≠0，因此只有a1=1

n≥2时，

(Sn -2)²+3Tn=4                 (1)

[S(n-1)-2]²+3T(n-1)=4       (2)

(1)-(2)

Sn²-4Sn+4+3Tn-S(n-1)²+4S(n-1)-4-3T(n-1)=0

[Sn+S(n-1)][Sn-S(n-1)]-4an+3an²=0

an[Sn+S(n-1)]+3an²-4an=0

an[Sn+S(n-1)+3an-4]=0

an(Sn+Sn-an+3an-4)=0

2an(Sn +an-2)=0

an>0，因此只有Sn+an -2=0

Sn=-an+2

S(n-1)=-a(n-1)+2

Sn-S(n-1)=an=-an+2+a(n-1)-2

2an=a(n-1)

an/a(n-1)=1/2，为定值。

数列{an}是以1为首项，1/2为公比的等比数列