求不定积分

更新时间2018-05-13 16:28:26

求（根号下1+x4次方）分之一的不定积分

原函数不能表示为初等函数
1/√(1+x^4)
=(1+x^4)^(-1/2)
=1-(1/2)x^4+(-1/2)(-1/2-1)/2!·x^8+…+(-1/2)(-1/2-1)…(-1/2-n+1)/n!·x^(4n)+…
=1-1/2·x^4+1·3/(2^2·2!)·x^8+…+(-1)^n·1·3…(2n-1)/(2^n·n!)·x^(4n)+…
=1+∑(n:1→∞)(-1)^n·(2n-1)!/(2n)!·x^(4n),x∈(-1,1)
∫1/√(1+x^4)·dx
=x+∑(n:1→∞)(-1)^n·(2n-1)!/[(4n+1)·(2n)!]·x^(4n+1)+C
=∑(n:0→∞)(-1)^n·(2n-1)!/[(4n+1)·(2n)!]·x^(4n+1)+C,x∈(-1,1)