如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，过点P作直线交AD于点E，交BC于点F．

更新时间2018-04-14 13:44:37

若PE=PF，且AP+AE=CP+CF． 求证：PA=PC． 若AD=12，AB=15，∠DAB=60°，求四边形ABCD的面积．

（1）证明：从E、F分别做AC垂线,垂足为M、N在△PEM和△PFN中∠EMP=∠FNP=90∠EPM=∠FPN（对顶角）PE=PF.所以△PEM≌PFN.PM=PN,EM=FN因为AP+AE=CP+CF所以AP-PM+AE=CP-PN+CF即AE+AM=CF+CN①在RT△AEM中,AE²-AM²=EM²在RT△CFN中,CF²-CN²=FN²因此AE²-AM²=CF²-CN²②将①、②比较,运用平方差公式,AE-AM=CF-CN③①-③,2AM=2CN,所以AM=CN又因为PM=PN,所以AM+PM=CN+PN.因此AP=CP（2）从D做AB垂线,交AB于H因为AP=CP,所以△ADP和△CDP等底等高,面积相等,因此S△ADP=S△ACD/2△ABP和△CBP等底等高,面积相等,因此S△ABP=S△ACB/2所以S△ADP+S△ABP=（S△ACD+S△ACB）/2即S△ABD=S四边形ABCD在RT△AHD中,∠DAH=60°,所以DH=√3AD/2=6√3S△ABD=1/2×AB×DH=45√3所以S四边形ABCD=90√3

（1）证明：在PA和PC的延长线上分别取点M、N，使AM=AE，CN=CF．∵AP+AE=CP+CF，

∴PN=PM．

∵PE=PF，

∴四边形EMFN是平行四边形．

∴ME=FN，∠EMA=∠CNF．

又∵∠AME=∠AEM，∠CNF=∠CFN，

∴△EAM≌△FCN．

∴AM=CN．

∵PM=PN，

∴PA=PC．

（2）∵PA=PC，EP=PF，

∴四边形AFCE为平行四边形．

∴AE∥CF．

∵∠PED=∠PFB，∠EPD=∠FPB，EP=PF，

∴△PED≌△PFB．∴DP=PB．

由（1）知PA=PC，

∴四边形ABCD为平行四边形．

∵AB=15，AD=12，∠DAB=60°，

∴四边形ABCD的面积为90．

180  别问咋来的