关于菱形面积公式的证明。

更新时间2018-04-07 19:50:46

求菱形面积公式的证明：

S菱形=边长²-[二分之一x（对角线-另一条对角线）]²

菱形面积等于边长的平方减去两条对角线的差的一半的平方。

菱形两条对角线是互相垂直的

设边长为a，一条对角线长为b，另一条对角线长为c

a^2=(b/2)^2+(c/2)^2

菱形面积=1/2*（b/2)*(c/2)*4=1/2bc

a^2-[1/2*(b-c)]^2

=(b/2)^2+(c/2)^2-1/4*(b-c)^2

=b^2/4+c^2/4-1/4*(b^2-2bc+c^2)

=1/2*bc

=S菱形

所以

S菱形=边长²-[二分之一x（对角线-另一条对角线）]²

菱形面积等于边长的平方减去两条对角线的差的一半的平方。

 

证明：

设边长为l，对角线为a,b,由勾股定理得：

(a/2)²+（b/2)²=l²

∴(a²+b²）/4=l²

∴（a-b)²/4=l²-ab/2

∴ab/2=l²-[(a-b)/2]²

又∵S菱形=ab/2

∴S菱形=l²-[(a-b)/2]²

即菱形面积等于边长的平方减去两条对角线的差的一半的平方

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