已知二次函数f（x）的二次项系数为a，f（x）=0的两根为1和3，且方程f（x）+1=0

更新时间2022-09-03 18:10:45

已知二次函数f（x）的二次项系数为a，f（x）=0的两根为1和3，且方程f（x）+1=0有两个相等的根，求f（x）的解析式

设 f(x) = ax^2 + bx + c；

f(x) = 0 的两根为 1 和 3，则 f(1) = a + b + c = 0；f(3) = 9a + 3b + c = 0；

两式相减，4a + b = 0，b = -4a；

f(x) + 1 = ax^2 + bx + ( c + 1 ) = 0 有两个相等的根，

则 △ = b^2 - 4a( c + 1 ) = (-4a)^2 - 4a( c + 1 ) = 0，4a = c + 1，c = 4a - 1；

∴ f(x) = ax^2 - 4ax + 4a - 1；

由韦达定理，( 4a - 1 )/a = 1 * 3，a = 1；

f(x) 的解析式为 f(x) = x^2 - 4x + 3 。

本题综合考察了韦达定理和一元二次方程判别式的应用。